하나의 열만 가지는 행렬을 열백터 혹은 간단히 벡터라고 한다.
2개의 성분을 가지는 모든 벡터들의 집합을 R2로 표시한다.
Linear combination(일차결합)
다음 예제를 통해 일차결합을 자세히 이해해보자.
벡터방정식을 기하학적으로 해석하면 다음과 같다.
벡터 a1과 a2를 포함한 무한히 넓은 평면 위에 벡터 b가 있다면 a1과 a2의 일차결합으로 b가 생성될 수 있다.
벡터 v1,v2,…,vn의 Span은 이 벡터들의 모든 일차결합으로 이루어진 집합이다.
이를 수학적으로 표현하면 Span{v1,v2,…,vn}={c1v1+c2v2+⋯+cnvn ∣ c1,c2,…,cn∈R}이다.
선형독립인 두 벡터 v1과 v2의 Span은 이 두 벡터가 이루는 평면 전체이다.
만약 두 벡터가 같은 방향(선형 종속)이면 Span{a1, a2}는 직선이 된다.
선형 독립인 세 벡터 v1, v2, v3의 Span은 이 세 벡터가 이루는 공간 전체가 된다. 즉, span{a1, a2, a3} = R3를 만족한다.
만약 세 벅테가 같은 평면에 있으면, span{a1, a2, a3} 은 평면이 된다.
A가 벡터 a1, a2, ... , an을 열로 하는 mxn행렬이고, 벡터b가 Rm의 원소이면
행렬방정식 Ax = b은 벡터방정식x1a1+x2a2+...+xnan=b와 같은 해를 가진다.
즉, (벡터들을 열로하는 행렬)X(가중치를 성분으로 하는 벡터) 꼴의 벡터방정식의 해와
[a1 a2 ... an b]인 선형방정식의 선형계의 같은 해집합을 갖는다.
span을 이용한 예제를 풀어보자.
sapn(a1, a2) 벡터a1과 a2의 일차결합으로 생성된 원점을 지나는 무한히 넓은 평면이다.
벡터b가 이 평면에 속하는 것은 벡터방정식 x1a1+x2a2=b가 해를 갖는 것과 동일하다.(x1, x2는 가중치)
위의 벡터방정식의 첨가행렬을 구하면 아래와 같다.
마지막 기약사다리꼴 행렬의 마지막 행을 보면 0x2=-2라는 값이 나온다.
따라서 x1a1+x2a2=b는 해를 갖지 않으며 b는 sapn(a1, a2)에 속하지 않는다는 것을 알 수 있다.
Matrix equations (행렬방정식)
행렬 방정식은 A x = b꼴로 나타내지며 A는 "벡터들을 열로 하는 행렬"이며 b는 "가중치를 성분으로 하는 벡터"이다.
이는 A의 열과 이에 해당하는 가중치 x의 성분과의 일차결합이다.
(Ax는 A의 열의 개수와 x의 성분의 개수가 같을 때에만 정의된다.)
이 식에서 A는 벡터 3개의 벡터 a1(1, 0), a2(2, -5), a3(-1, 3)을 열로 하는 행렬이다.
벡터 a1, a2, a3는 성분이 두개인 벡터이므로 R2의 원소이다.
벡터x는 각각의 가중치 x1=4, x2=3, x3=7를 성분으로 하는 벡터이다. 따라서 벡터 x는 R3의 원소이다.
o 선형계 vs 벡터방정식 vs 행렬방정식
다음은 각각의 해집합이 같은 선형계, 벡터방정식, 행렬방정식이다.
1) 선형계의 관점에서 보면 두 평면의 교점이 해가 된다. 즉 선형계의 첨가행렬이 아래의 두 경우와 같은 해집합을 갖는다.
2) 벡터방정식의 관점에서 보면 벡터 3개의 1차결합으로 우변의 벡터가 생성될 수 있으면 첨가행렬과 같은 해집합을 갖는다.
3) 벡터를 열로하는 mxn 행렬이고 벡터 b가 Rm의 원소이면 벡터방정식과 같은 해를 갖는다.
따라서 위의 선형계와 벡터, 행렬 방정식은 등가이다.
o 행렬방정식의 해의 존재성
행렬방정식 Ax=b가 해를 가질 필요충분조건은 벡터b가 A의 열의 일차결합인 것이다.
즉, 벡터b가 span(a1, a2, ... , an)에 속하는 것은 Ax=b기 해를 갖는 것과 동치이다.
즉, 벡터 a1, a2, a3의 일차결합 위에 벡터b가 존재하는지 생각해 보면 된다.
Ax=b의 첨가행렬을 구하고 행축약 알고리즘을 통해 정리한 결과이다.
벡터 a3는 a1과 a2의 일차결합으로 만들어 진다. 따라서 span{a1, a2, a3}원점을 지나는 무한히 넓은 2차원 평면이다.
벡터b는 span(a1, a2)평면 위에 존재해야 방정식 Ax=b가 해를 갖는다.
b1-(1/2)b2+b3 = 0을 만족하지 않으면 선형계의 해는 존재하지 않는다. " b1-(1/2)b2+b3 = 0 "는 의미는 벡터b가 span(a1, a2)위에 존재하기 위해 만족해야 하는 조건이다.
즉, 벡터b가 a1과 a2의 일차결합으로 표현될 수 있으려면, 이 방정식을 만족해야 한다.
첨가행렬을 조금 더 자세히 살펴보자. 위 첨가행렬은 자유변수가 1개이다. 자유변수가 1개이면 span{a1, a2, a3}가 평면이 되는 것을 알 수 있다. 자유변수의 개수와 span{(A의 열벡터들)}의 관계, 그리고 해집합과의 관계에 대해 알아보자.
1. 행렬방정식의 해의 존재 여부
방정식 Ax=b가 해를 가지러면 벡터b가 행렬A의 열공간(column space)에 속해야 한다. 벡터b가 A의 열벡터들의 선형결합으로 표현될 수 있어야한다. 이를 확인하기 위해서는 첨가행렬 [ A | b ]를 사다리꼴 형태로 변환해보는 것이다.
("열공간( column space) : A의 열벡터들의 선형결합으로 만들어지는 공간. 즉, span{a1, a2, a3, ... , an} / 열공간의 차원은 A의 열벡터들 중 선형독립인 벡터들의 최대 개수와 같다.)
("행렬 A의 랭크(rank) : A의 열공간의 차원을 의미.)
2. (첨가행렬의) 자유변수와 열공간의 관계
(행렬 A의 열벡터의 원소수) = (열공간의 차원) + (자유변수의 개수)를 만족한다.
이는 " Rank-Nullity Theorem "이라 하며 (행렬 A의 열벡터의 원소수) = (A의 랭크) + (널공간의 차원)이다.
ex)행렬 A=[a1, a2, a3]는 3x3행렬이고 열공간은 2차원이라고 하자 (span{a1, a2, a3}는 평면) . 이때 Ax=b를 만족하는 첨가행렬의 자유변수의 개수는 1개가 된다.
3. 자유변수의 개수와 해집합의 관계
자유변수의 개수는 해집합의 자유도를 결정한다. 자유변수가 1개라면 해집합은 하나의 매개변수로 표현될 수 있는 직선이 된다. 일반적으로 자유변수의 개수가 k개라면 해집합은 k차원의 공간을 형성한다.
A가 mxn행렬이라 할 때 다음의 명제는 동치이다.
(명제가 모두 참이거나 모두 거짓임)
1) Rm의 원소인 모든 벡터b에 대하여, Ax=b가 해를 가진다.
2) Rm의 원소인 모든 벡터b는 A의 열의 일차결합이다.
3) A의 열이 Rm을 생성한다.
4) A가 모든 행에서 주축위치를 가진다.
Homogeneous Linear Systems(동차선형계)
Ax = 0의 형태의 선형계를 동차(homogeneous)라고 한다. 동차선형계는 항상 적어도 하나의 해, 즉 x=0을 갖는다. 이 해를 trivial solution(자명한 해)라고 한다. 반대로 "자명하지 않은 해(nontrivial solution)"는 0가 아닌 해를 말한다.
동차방정식 Ax = 0이 자명하지 않은 해를 갖기 위한 필요충분 조건은 그 방정식이 적어도 1개의 자유변수를 가지는 것이다.
위에선 언급한 Rank-Nullity Theorem을 생각해보면 자유변수가 k개 생기면 해집합의 차원이 k차원이 되니 k>0이면 해의 개수는 무수히 많아진다. 따라서 자유변수가 생기면 자명하지 않은 해룰 갖게 된다.
예제를 통해 자명하지 않은 해를 갖는지 살펴보자.
주어진 선형계를 첨가행렬로 나타낸 후 일반해를 구해보자. 자유변수가 존재하므로 자명하지 않은 해를 갖는다.
이때 해집합을 벡터로 나타내면 (자유변수) x (벡터)의 꼴로 나타낼 수 있다.
자유변수가 두개인 일반해를 벡터로 표현하면 두 벡터의 합으로 나타낼 수 있다. 이 때 자유변수 x2, x3는 임의의 실수가 되다.
x = x3v, 혹은 x = x2u+x3v와 같은 방정식을 Parametric Vector Form(매개변수 벡터 형식) 이라고 한다.
x = x3v의 해집합은 원점을 지나는 직선, x = x2u+x3v의 해집합은 원점을 지나는 평면이 된다.
Solution of Nonhomogeneous System (비동차계의 해집합)
비동차계의 해가 많을 때, 일반해는 대응하는 동차계를 만족하는 벡터들의 임의의 일차결합에 벡터 하나를 더한 것과 같은 매개변수 벡터 형태로 쓸 수 있다.
위에서 다룬 동차계에 대응하는 비동차계 이다. x3v는 대응하는 동차계의 해집합이다. 따라서 Ax=b의 해집합은 x3v에 p를 더한 꼴로 나오게 된다. 이를 기하학적으로 생각하면 아래와 같다. 선형계의 자유변수가 1개이므로 동차계의 해집합은 원점을 지나는 직선( span{v} )이 된다. span{v}에 벡터 p를 더했으니 평행이동으로 생각할 수 있다.
Linear Independence (일차동립)
벡터방정식 "x1v1 + x2v2 + x3v3 + ... + xpvp = 0"이 자명한 해만을 가질 때 Rn에 포합되는 벡터들의 집합 {v1, v2, v3, ... , vp}를 일차독립 이라 한다.
벡터들의 집합이 일차동립인지 판별하기 위해서는 그 벡터들을 열로하는 행렬A의 동차방정식이 자명한 해만을 갖는지 확인하면 된다. 즉, Ax = 0의 첨가행렬을 구해 자유변수의 유무를 구해보면 알 수 있다.
자유변수 x3을 가짐으로 v1, v2, v3는 일차 독립이 아니며 위와같은 종속관계를 갖는다.
o 일차 종속 판별
행연산을 할 필요 없이 일차 독립 여부를 확인할 수 있는 집합들을 살펴보자.
a) 각 벡터에 있는 성분의 개수보다 많은 수의 벡터를 포함하는 집합은 일차 종속이다.
b) Rn에서의 집합 S={v1, v2, ... , vp}가 영벡터(0)를 포함하면, S는 일차 종속이다.
c) 2개의 벡터를 가지는 집합은 한 벡터가 다른 벡터의 스칼라배이면 일차 종속이다.
Linear Transformations (선형 변환)
선형변환은 행렬방정식 Ax = 0을 다른 관점으로 바라본 것이다. 백터 x에 곱셈 연산을 "작용"하여 Ax라 불리는 새로운 벡터를 만드는 대상으로 행렬A를 생각하는 것이다.
Rn에서 Rm으로의 변환(transformation, functions 또는 mapping)을 T로 나타낸다. Rn의 각 베터 x를 Rm의 한 벡터 T(x)로 대응하는 것이다. 즉, 함수의 성질을 가진다. 집합Rn을 T의 정의역(domain), Rm을 T의 공역(codomain)이라 부른다. 벡터 T(x)를 x의 상(image)이라 부르고, 모든 상 T(x)들의 집합을 치역(range)이라 한다.
벡터 x는 R4의 원소이며 선형변환된 벡터 b는 R2의 원소이다. R4가 정의역 R2가 공역이 된다. 행렬 A가 이 변환에 작용했다고 생각할 수 있다.
o 행렬변환 (Matrix transformation)
A가 mxn행렬일 때 Rn에 속하는 각 x에 대하여 T(x)는 Ax로 계산된다.
T(x)의 각각의 상이 Ax 형태이므로 T의 치역은 A의 열에 관한 모든 선형결합으로 이루어진 집합이다.
(d)는 해가 존재하지 않으므로 c가 T의 치역에 속하지 않는다.
o 선형변환 (Linear transformation)
변환 T가 다음을 만족하면 선형(linear)변환 이라 한다.
1) T의 정의역에 속하는 모든 u, v에 대하여 T(u+v) = T(u) + T(v)를 만족한다.
2) T의 정의역에 속하는 모든 u와 임의의 스칼라 c에 대하여 T(cu) = cT(u)를 만족한다.
T가 선형 변환이면 T(0) = 0이다. 정의역의 0벡터가 공역의 0벡터로 변환된다. 어떠한 변환 T가 선형인가 판별하기 위해서는 T(cu + dv) = cT(u) + dT(v), 그리고 T(0) = 0을 만족하는지, 보면 된다. (c, d는 임의의 스칼라이다.)
o 행렬의 선형변환
위와같은 2x2 항등행렬이 있다고 해보자. 이 행렬의 열벡터를 각각 e1, e2라고 하면 위와같이 나타낼 수 있다.
각 열벡터의 T(R2에서 R3로의 선형변환)에 대한 변환이 위와 같다. 그렇다면 임의의 x의 상(image)에대한 식을 아래와같이 구할 수 있다.
T : Rn -> Rm을 선형변환이라 하면 Rn의 모든 x에 대하여 T(x) = Ax를 만족하는 행렬 A가 유일하게 존재한다.
A는 j번째 열이 벡터 T(ej)인 행렬이다. (ej는 Rn에서 항등행렬의 j번째 열이다.) 이러한 행렬 A는 선형변환 T에 대한 표준행렬(standard matrix)이라고 한다. 즉, 표준행렬은 항등행렬의 열들의 상(image)를 열로 하는 행렬이다.
변환 T가 x1=-1축에 대한 대칭이라 할 때 변환 T에 대한 표준 행렬을 구해보자.
그림과 같이 이 변환은 선형변환이 아님을 알 수 있다. 또한 정의역에서의 0에대한 변환도 (-2, 0)이므로 선형변환이 아님을 쉽게 판별할 수 있다. 따라서 이 변환은 선형변환이 아니므로 표준행렬을 구할 수 없다.
1. 전사변환 (onto)
공역 Rm의 모든 b가 정의역 Rn에 속하는 적어도 한 x의 상이면, T : Rn->Rm을 Rm으로의 전사변환 이라고 한다. 즉, 공역과 치역이 같거나, T(x) = b의 해가 적어도 하나 존재하면 T는 Rn에서 Rm으로의 "전사변환"이라고 한다.
2. 일대일 변환 ( one-to-one, 1:1)
Rm에 속하는 모든 b가 많아야 한 x의 상이면, T : Rn->Rm은 일대일 변환이라고 한다.
ex) R4->R3변환 T에 대한 표준행렬이 아래와 같다. 이 변환이 전사변환, 일대일변환 인지 알아보자.
먼저 전사변환인지 판별해보자. T(x)=Ax=b이다. 이는 벡터x가 b로 변환한 것을, A의 열들의 선형결합으로 b를 생성한다고 생각해보자. 치역은 A의 열들의 일차결합 즉, 열공간이 된다. 주축의 개수가 3개 이므로 열공간과 공역(R3)이 일치해 이 변환은 전사변환으로 판별할 수 있다.
공역(Rm) = 치역 = 열공간
일대일 변환은 Ax=0의 해집합을 통해 쉽게 판별할 수 있다. 동차계를 사용하는 이유는 원점(자명한 해)을 무조건 해로 가짐으로 자명하지 않는 해를 갖는지 판별하면 된다. 이 경우 첨가행렬을 나타냈을 때 자유변수가 존재하므로 자명하지 않은 해를 갖는다. 따라서 이 변환은 일대일 변환은 아니다.
T(x)=Ax=0의 해집합 판별. 해가 오직 x=0 뿐이어야 함. 널 공간이 {0}만 포함.
즉, 위의 내용을 간단히 정리해보면
T : Rn->Rm을 선형변환, A를 T에 대한 표준해열이라 하면,
1) T는 Rn을 Rm으로의 전사변환이다 <-> A의 열들이 Rm을 생성한다.
2) T는 일대일 이다. <-> A의 열들은 일차독립이다. (Ax=0이 자명한 해만을 갖는다.)
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